Matroids over a ring

We introduce the notion of a matroid M over a commutative ring R, assigning to every subset of the ground set an R-module according to some axioms. When R is a field, we recover matroids. When R = Z, and when R is a DVR, we get (structures which contain all the data of) quasi-arithmetic matroids, and valuated matroids, respectively. More generally, whenever R is a Dedekind domain, we extend the usual properties and operations holding for matroids (e.g., duality), and we compute the Tutte-Grothendieck group of matroids over R. Résumé. Nous introduisons la notion de matroı̈de M sur un anneau commutatif R, qui assigne à chaque partie d’un ensemble E un R-module selon certains axiomes. Quand R est un corps, on retrouve les matroı̈des. Lorsque R = Z, et lorsque R est un anneau de valuation discrète, nous obtenons (structures qui contiennent toutes les données) respectivement des matroı̈des quasi-arithmétiques et des matroı̈des valués. En plus de généralité, quand R est un anneau de Dedekind, nous étendons les propriétés et operations habituelles pour les matroı̈des (par exemple, la dualité), et nous calculons le groupe de Tutte-Grothendieck des matroı̈des sur R.